Zusammenhägende Mengen und Intervalle

Eine zusammenhängende Menge ist eine Menge $M\subset \mathbb R$ mit mindestens zwei Elementen, für die folgendes gilt:

(1)
\begin{align} x,y\in M, x<z<y \Rightarrow z\in M. \end{align}

Eine Menge $X\subset \mathbb R$ heißt Intervall, falls Zahlen $a,b\in\mathbb R, a<b$ existieren, sodass eine der folgenden Gleichungen gilt:

(2)
\begin{align} &X=[a,b]:=\{x\in\mathbb R\ |\ a\leq x\leq b\}\cr &X=(a,b]:=\{x\in\mathbb R\ |\ a<x\leq b\}\cr &X=[a,b):=\{x\in\mathbb R\ |\ a\leq x<b\}\cr &X=(a,b):=\{x\in\mathbb R\ |\ a<x<b\}\cr &X=[a,\infty):=\{x\in\mathbb R\ |\ a\leq x\}\cr &X=(a,\infty):=\{x\in\mathbb R\ |\ a<x\}\cr &X=(-\infty,b]:=\{x\in\mathbb R\ |\ x\leq b\}\cr &X=(-\infty,b):=\{x\in\mathbb R\ |\ x<b\}\cr &X=(-\infty,\infty):=\mathbb R.\cr \end{align}

Zusammenhang zwischen den beiden Eigenschaften

Satz: Eine Menge $M\subset \mathbb R$ ist genau dann zusammenhängend, wenn sie ein Intervall ist.

Beweis: "$\Leftarrow$": Sei $M$ ein beschränktes Intervall, also eines der Form $[a,b],(a,b],[a,b)$ oder $(a,b)$ mit $a,b\in\mathbb R$. Dann enthält $M$ zunächst die beiden, voneinander veschiedenen Zahlen $\frac{2a+b}{3}$ und $\frac{a+2b}{3}$, besitzt also mindestens zwei Elemente. Seien nun $x,y\in M, x<y$ beliebig und sei $z\in\mathbb R$ mit $x<z<y$ gegeben. Zunächst folgt $a\leq x<y\leq b$ und damit:

(3)
\begin{align} &a\leq x<z\cr &z<y\leq b,\cr \end{align}

also $a<z<b$. Damit liegt $z$ ebenfalls in $M$. In dem Fall, dass $M$ ein unbeschränktes Intervall ist, schließt man entsprechend.
"$\Rightarrow$": Sei $M$ zusammenhängend und $a:=\inf M, b:=\sup M$, wobei natürlich auch $a=-\infty$ und $b=+\infty$ gelten kann.$M$ enthält mindestens zwei verschiedene Punkte $c<d$. Wegen $a\leq c<d\leq b$ ist $a\neq b$ und natürlich damit auch $a<b$. Wir behaupten nun, dass $M$ ein Intervall mit den Randpunkten $a$ und $b$ ist. Seien zunächst $a,b\in\mathbb R$ und sei $a<z<b$. Da $a$ das Infimum von $M$ ist, gibt es ein $x\in M$ mit $a\leq x<z$ und entsprechend gibt es wegen der Supremumseigenschaft von $b$ ein $y\in M$ mit $z<y\leq b$. Daraus folgt $x<z<y$ und weil $M$ zusammenhängend ist, muss auch $z$ in $M$ liegen. D.h. jedenfalls $(a,b)\subset M$. Wegen $M\subset [a,b]$ muss damit $M$ ein beschränktes Intervall sein. In den Fällen, in denen $a,b$ nicht beide endlich sind, schließt man entsprechend. $\Box$

Vereinigung von Intervallen mit nichtleerem Durchschnitt

Hilfssatz: Sind $I_1,I_2$ Intervalle mit $I_1\cap I_2\neq\varnothing$, dann ist auch $I_1\cup I_2$ ein Intervall.

Beweis: Trivialerweise besitzt die Vereinigung der beiden Intervalle mehr als ein Element, denn dieses gilt ja schon für die beiden einzelnen Intervalle.
Da der Schnitt der beiden Intervalle nichtleer ist, gibt es ein $\xi$, welches in beiden Intervallen liegt. Seien $x,y\in I_1\cup I_2$ beliebig und $z$ gegeben mit $x<z<y$. Gilt $x,y\in I_1$ oder $x,y\in I_2$, so gilt entsprechendes auch für $z$ (denn die Intervalle sind jeweils zusammenhängend!). Infolgedessen liegt $z$ auch in der Vereinigung der beiden Intervalle.
Jetzt nehmen wir an, dass $x,y$ nicht beide in einem der beiden Intervalle liegen. O.B.d.A. sei $x\in I_1,y\in I_2$. Wir unterscheiden drei Fälle:
1. $z<\xi$. Dann ist auch $x<z<\xi$ und wegen $x,\xi\in I_1$ muss auch $z\in I_1$ gelten, da $I_1$ als Intervall zusammenhängend ist.
2. $z=\xi$. Dann liegt $z$ natürlich in $I_1$ und $I_2$.
3. $\xi<z$. Dann ist auch $\xi<z<y$ und wegen $\xi,y\in I_2$ liegt auch $z$ in $I_2$, weil auch $I_2$ als Intervall eine zusammenhängende Menge ist.
In allen drei Fällen erhalten wir $z\in I_1\cup I_2$. Damit ist die Vereinigung der beiden Intervalle eine zusammenhängende Menge und dementsprechend auch ein Intervall. $\Box$

Satz: Sind $I_j,j\in J$, wobei $J$ eine beliebige Indexmenge sei, beliebig viele Intervalle mit

(4)
\begin{align} \bigcap_{j\in J}~I_j\neq\varnothing, \end{align}

so ist auch

(5)
\begin{align} I:=\bigcup_{j\in J}~I_j \end{align}

ein Intervall.

Beweis: Wir zeigen wieder, dass $I$ zusammenhängend ist. Zunächst ist wieder klar, dass $I$ mehr als ein Element besitzt, denn jedes Intervall $I_j,j\in J$ besitzt ja schon mindestens zwei Elemente.
Seien nun $x,y\in I$ mit $x<y$ beliebig. Sei außerdem $z\in\mathbb R$ mit $x<z<y$ gegeben. Zunächst sehen wir, dass es $j_1,j_2\in J$ gibt mit $x\in I_{j_1},y\in I_{j_2}$. Da der Schnitt aller Intervalle nichtleer ist, muss auch der Schnitt von $I_{j_1}$ und $I_{j_2}$ nichtleer sein. Nach dem vorangegangen Satz ist damit auch $I_{j_1}\cup I_{j_2}$ ein Intervall und somit zusammenhängend, woraus wiederum folgt, dass wegen $x,y\in I_{j_1}\cup I_{j_2}$ auch $z\in I_{j_1}\cup I_{j_2}$ gilt. Dann gilt aber auch $z\in I$ und damit ist $I$ tatsächlich zusammenhängend und somit auch ein Intervall. $\Box$.

Durchschnitt von Intervallen

Satz: Der Durchschnitt beliebig vieler Intervalle $I_j,j\in J$ ($J$-beliebige Indexmenge) ist entweder leer, eine einpunktige Menge oder wieder ein Intervall.

Beweis: Wir müssen nur zeigen, dass der Durchschnitt ein Intervall ist, falls er mehr als einen Punkt enhält. Seien $x,y$ aus dem Durchschnitt beliebig mit $x<y$ (diese existieren, weil es in dem Schnitt mindestens zwei Elemente gibt) und $x<z<y$. Sei nun $j\in J$ beliebig. Da $x,y$ in $I_j$ liegen, muss auch $z\in I_j$ gelten, da $I_j$ zusammenhängend ist. Da $j\in J$ beliebig war, gilt $z\in I_j$ für jedes $j\in J$ und damit liegt $z$ auch im Durchschnitt aller $I_j$. Damit ist der Durchschnitt zusammenhängend und somit ein Intervall. $\Box$

Korollar: Der Durchschnitt zweier Intervalle $I_1,I_2$ ist entweder leer, eine einpunktige Menge oder wieder ein Intervall.

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