Unterricht

Linearer Operator

Wann wird eine Matrix (lineare Abbildung) wohl Operator genannt werden ?
Richtig, wenn sie einen Vektorraum in sich selbst abbildet. Also kurz: alle quadratischen nxn-Matrizen.

Orthogonale Matrizen:

Aufgabe war ja:

Wenn $A^T=A^{-1} \quad (*)$, wie verhält sich das Skalarprodukt zweier Vektoren $\langle x,y\rangle$ in Bezug auf das Skalarprodukt $\langle Ax,Ay\rangle$ ihrer Bilder?

(1)
\begin{align} \langle Ax,Ay\rangle \ = \ (Ax)^T(Ay) \ =\ x^TA^TAy \ \stackrel{*}{=}\ x^TA^{-1}Ay \ =\ x^TEy \ =\ \langle x,y\rangle \end{align}

Es ändert sich also nicht.
Andererseits muss für eine Matrix, die das Skalarprodukt zweier Vektoren unverändert lässt, sofort $A^T=A^{-1}$ gelten.

(2)
\begin{align} \langle Ax,Ay\rangle &= \langle x,y\rangle \cr (Ax)^T(Ay) &= x^Ty \cr x^TA^TAy &= x^Ty \cr &\Downarrow \quad ( x^TBy=x^TCy \Rightarrow B=C ) \cr A^TA &= E \cr &\Downarrow& \cr A^{-1} &= A^T \end{align}

Somit sind folgende Aussagen äquivalent:

  1. A ist invertierbar und ihre Transponierte ist gleichzeitig ihre Inverse: $A^T = A^{-1}$
  2. Das Skalarprodukt ist invariant unter der Multiplikation mit $A$: $\langle Ax,Ay\rangle = \langle x,y\rangle$

Aus 2. folgt sofort, dass wenn $\langle Ax,Ay\rangle = \langle x,y\rangle$ für alle $x$ und $y$ gilt,
so gilt auch:

(3)
\begin{align} \langle Ax,Ax\rangle = \langle x,x\rangle \Leftrightarrow |Ax| = |x| \end{align}

$A$ verändert also auch nicht die Länge eines Vektors. Es gilt aber auch die Umkehrung!

Sei $\langle Av,Av\rangle=\langle v,v\rangle$ für alle $v\in\mathbb R^n$. Es folgt:

(4)
\begin{align} \begin{align} &\langle A(x+y),A(x+y)\rangle& &=\langle x+y,x+y\rangle\cr &\langle Ax+Ay,Ax+Ay\rangle& &=\langle x+y,x+y\rangle\cr &\underbrace{\langle Ax,Ax\rangle}_1+\langle Ax,Ay\rangle+\langle Ay,Ax\rangle+\underbrace{\langle Ay,Ay\rangle}_2& &=\underbrace{\langle x,x\rangle}_{1'}+\langle x,y\rangle+\langle y,x\rangle+\underbrace{\langle y,y\rangle}_{2'}\cr &\langle Ax,Ay\rangle+\langle Ay,Ax\rangle& &=\langle x,y\rangle+\langle y,x\rangle\cr &\langle Ax,Ay\rangle+\langle Ax,Ay\rangle& &=\langle x,y\rangle+\langle x,y\rangle\cr &\langle Ax,Ay\rangle& &=\langle x,y\rangle. \end{align}

In der zweiten Zeile sind die Terme $1$ und $1'$ nach Voraussetzung gleich, ebenso $2$ und $2'$. Von der vierten zur fünften Zeile wurde die Symmetrie des Skalarprodukts genutzt.

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