Spatprodukt

Das Spatprodukt dreier Vektoren des euklidischen Raums ist das (orientierte) Volumen des von ihnen aufgespannten Spats (Parallelepipeds). Für drei Vektoren $\vec a,\vec b,\vec c\in\mathbb R^3$ ist es definiert durch

(1)
\begin{align} [\vec a,\vec b,\vec c]=(\vec a\times\vec b)\cdot\vec c. \end{align}

Das absolute Volumen des zugehörigen Spats ist also gleich dem Betrag des Spatprodukts. Es gilt die folgende Gleichungskette:

(2)
\begin{align} [\vec a,\vec b,\vec c]=[\vec c,\vec a,\vec b]=[\vec b,\vec c,\vec a]=-[\vec a,\vec c,\vec b]=-[\vec b,\vec a,\vec c]=-[\vec c,\vec b,\vec a]. \end{align}

Desweiteren lässt sich auch das Spatprodukt durch eine Determinante darstellen. Für

(3)
\begin{align} \vec a=\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}, \vec b=\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}, \vec c=\begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{pmatrix} \end{align}

gilt:

(4)
\begin{align} [\vec a,\vec b,\vec c]=\det\begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{pmatrix}=\begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}. \end{align}

Außerdem hat man folgende Rechenregeln für beliebige $\vec a,\vec b,\vec c,\vec d\in\mathbb R^3, \lambda\in\mathbb R$:

(5)
\begin{align} [\vec a,\vec b,\vec c+\vec d]&=[\vec a,\vec b,\vec c]+[\vec a,\vec b,\vec d]\cr [\lambda \vec a,\vec b,\vec c]=[\vec a,\lambda \vec b,\vec c]&=[\vec a,\vec b,\lambda \vec c]=\lambda\cdot [\vec a,\vec b,\vec c]. \end{align}
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