Skalarprodukt

Das Skalarprodukt zweier Vektoren $x$ und $y$ des $\mathbb R^n$ beschreibt man durch $\langle x,y\rangle$. Allerdings wird auch oft einfach nur $xy$ geschrieben, wenn die Bedeutung klar ist. Andererseits verwendet man auch oft $x^Ty$ um die Verwandschaft zur Matrixmultiplikation hervorzuheben.

In der linearen Algebra ist das Skalarprodukt oder das innere Produkt zweier Vektoren des $n$-dimensionalen euklidischen Raumes als jene reelle Zahl definiert, die sich als Summe der Produkte der Komponenten der Vektoren ergibt. Für $x,y\in\mathbb R^n$ gilt also:

(1)
\begin{align} \langle x,y\rangle :=x^Ty= \begin{pmatrix} x_1 & x_2 & \cdots & x_n \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} y_1 \cr y_2 \cr \vdots \cr y_n \end{pmatrix} = \sum_{i=1}^n~x_i\cdot y_i \end{align}

Dieses Skalarprodukt heißt Standard-Skalarprodukt im $\mathbb R^n$.

Verallgemeinerung

Das Skalarprodukt lässt sich noch verallgemeinern: Auf einem $\mathbb R$-Vektorraum $V$ ist ein Skalarprodukt (oder inneres Produkt) eine symmetrische, positiv definite Bilinearform, die $V\times V$ in $\mathbb R$ abbildet. $\langle\cdot,\cdot\rangle :V\times V\to\mathbb R$ heißt also Skalarprodukt, falls Folgendes gilt:

1. $\langle\cdot,\cdot\rangle$ ist bilinear:

(2)
\begin{align} &\forall v_1,v_2\in V \quad \forall w\in W& &: &\langle v_1+v_2,w\rangle &=\langle v_1,w\rangle+\langle v_2,w\rangle \cr &\forall v\in V\quad \forall w_1,w_2\in W& &: &\langle v,w_1+w_2\rangle &=\langle v,w_1\rangle+\langle v,w_2\rangle \cr &\forall \lambda\in\mathbb R\quad \forall v\in V\quad \forall w\in W& &: &\langle \lambda v,w\rangle &=\langle v,\lambda w\rangle=\lambda \langle v,w\rangle. \end{align}

2. $\langle\cdot,\cdot\rangle$ ist symmetrisch:

(3)
\begin{align} \forall v,w \in V : \langle v,w\rangle = \langle w,v\rangle. \end{align}

3. $\langle\cdot,\cdot\rangle$ ist positiv definit:

(4)
\begin{align} \forall v\in V : \langle v,v\rangle\geq 0 \text{ und } \langle v,v\rangle=0\Leftrightarrow v=0. \end{align}
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