Das Skalarprodukt zweier Vektoren $x$ und $y$ des $\mathbb R^n$ beschreibt man durch $\langle x,y\rangle$. Allerdings wird auch oft einfach nur $xy$ geschrieben, wenn die Bedeutung klar ist. Andererseits verwendet man auch oft $x^Ty$ um die Verwandschaft zur Matrixmultiplikation hervorzuheben.
In der linearen Algebra ist das Skalarprodukt oder das innere Produkt zweier Vektoren des $n$-dimensionalen euklidischen Raumes als jene reelle Zahl definiert, die sich als Summe der Produkte der Komponenten der Vektoren ergibt. Für $x,y\in\mathbb R^n$ gilt also:
(1)Dieses Skalarprodukt heißt Standard-Skalarprodukt im $\mathbb R^n$.
Verallgemeinerung
Das Skalarprodukt lässt sich noch verallgemeinern: Auf einem $\mathbb R$-Vektorraum $V$ ist ein Skalarprodukt (oder inneres Produkt) eine symmetrische, positiv definite Bilinearform, die $V\times V$ in $\mathbb R$ abbildet. $\langle\cdot,\cdot\rangle :V\times V\to\mathbb R$ heißt also Skalarprodukt, falls Folgendes gilt:
1. $\langle\cdot,\cdot\rangle$ ist bilinear:
(2)2. $\langle\cdot,\cdot\rangle$ ist symmetrisch:
(3)3. $\langle\cdot,\cdot\rangle$ ist positiv definit:
(4)