Nullmenge

Eine Nullmenge ist in der sogenannten Maßtheorie (Lebesgue-Integrale) ein wichtiger Begriff. Wir wollen hier allerdings nicht so hoch ansetzen, sondern den Begriff nur im Bereich der reellen Zahlen beweisen.

Definition

Eine Menge $M\subset\mathbb R$ heißt Nullmenge, falls zu jedem $\varepsilon>0$ höchstens abzählbar viele (offene oder abgeschlossene) Intervalle $I_n$ existieren, die $M$ überdecken und deren Längensumme

(1)
\begin{align} \sum_{n=1}^{\infty}~|I_n|\leq\varepsilon \end{align}

ist.

Spezielle Nullmengen und Verknüpfungen von Nullmengen

Satz: a) Jede Teilmenge einer Nullmenge ist ebenfalls eine Nullmenge.
b) Jede höchstens abzählbare Teilmenge von $\mathbb R$ ist eine Nullmenge.
c) Die Vereinigung höchstens abzählbar vieler Nullmengen ist eine Nullmenge.

Beweis: a) ist trivial. Zu b): Sei $M$ eine höchstens abzählbare Teilmenge von [[\mathbb R$]] und $\varepsilon>0$ beliebig. Dann gibt es eine surjektive Abbildung $r:\mathbb N\to M, n\mapsto r_n$. Die Intervalle $I_n:=\left(r_n-\frac{\varepsilon}{2^{n+1}},r_n+\frac{\varepsilon}{2^{n+1}}\right), n\in\mathbb N$ überdecken dann $M$ und es gilt:

(2)
\begin{align} \sum_{n=1}^{\infty}~|I_n|=\sum_{n=1}^{\infty}~\frac{\varepsilon}{2^n}=\varepsilon\leq\varepsilon. \end{align}

Damit ist $M$ tatsächlich eine Nullmenge.
c) $M_1,M_2,\ldots$ seien Nullmengen und $\varepsilon>0$ beliebig. Zu $M_n$ existieren dann höchstens abzählbar viele Intervalle $I_{n1},I_{n2},\ldots$, die $M_n$ überdecken und deren Längensumme

(3)
\begin{align} \sum_{k=1}^{\infty}~|I_{nk}|\leq \frac{\varepsilon}{2^n} \end{align}

ist. Die ebenfalls höchstens abzählbar vielen Intervalle $I_{nk}$ mit $n,k\in\mathbb N$ überdecken dann die Vereinigung

(4)
\begin{align} \bigcup_{n=1}^{\infty}~M_n \end{align}

und ihre Längensumme ist

(5)
\begin{align} \sum_{n=1}^{\infty}~\sum_{k=1}^{\infty}~|I_{nk}|\leq \sum_{n=1}^{\infty}~\frac{\varepsilon}{2^n}=\varepsilon. \end{align}

Also ist auch die Vereinigung eine Nullmenge. $\Box$

Das Lebesguesche Integrabilitätskriterium

Ohne Beweis geben wir ein Kriterium an, welches Riemann-integrierbare Funktionen vollständig charakterisiert. Dabei sagen wir, eine Funktion hat eine bestimmte (für jeden Punkt definierte) Eigenschaft fast überall (im Definitionsbereich), falls die Menge aller Punkte des Definitionsbereichs, die diese Eigenschaft nicht erfüllen, eine Nullmenge ist.
In dem speziellen, für uns wichtigen Fall bedeutet dies: Die Funktion $f$ heißt auf ihrem Definitionsbereich fast überall stetig, falls die Menge der Unstetigkeitspunkte des Definitionsbereichs eine Nullmenge bildet.

Lebesguesches Integrabilitätskriterium: Eine Funktion $f:[a,b]\to\mathbb R$ ist genau dann $R$-integrierbar, wenn sie beschränkt und fast überall stetig ist.

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