Lineare Unabhängigkeit

Die lineare Unabhängigkeit ist eine wichtige Eigenschaft von Vektoren eines Vektorraums.

Definition

Die $n$ Vektoren $v_1,\ldots,v_n$ des $K$-Vektorraums $V$ heißen linear unabhängig, wenn für $k_1,\ldots,k_n\in K$ gilt:

(1)
\begin{align} k_1v_1+\ldots+k_nv_n=0\quad \Rightarrow\quad k_1=\ldots=k_n=0. \end{align}

Man nennt dann die Menge $\{v_1,\ldots,v_n\}$ und das System $(v_1,\ldots,v_n)$ der Vektoren ebenfalls linear unabhängig. Auch die leere Menge wird als linear unabhängig definiert.
Eine beliebige (nicht notwendigerweise endliche) Menge $A\subset V$ (bzw. ein nicht notwendigerweise endliches System $\mathcal A=(v_i)_{i\in I}$ von Vektoren) heißt linear unabhängig, falls jede endliche Teilmenge von $A$ (bzw. jedes endliche Teilsystem von $\mathcal A$) linear unabhängig ist.
Zusammenfassend lässt sich sagen: Eine Menge $A\subset V$ bzw. ein System $\mathcal A$ ist linear unabhängig genau dann, wenn der Nullvektor sich nur durch die triviale Linearkombination aus Elementen von $A$ bzw. $\mathcal A$ darstellen lässt.
Eine Menge $A\subset V$ (ein System $\mathcal A$) heißt linear abhängig, falls sie (es) nicht linear unabhängig ist.

Wichtige Sätze

In den folgenden Sätzen lässt sich die Menge $A$ durch ein System $\mathcal A$ von Vektoren ersetzen, wobei der Kontext sinnvoll zu verändern ist.

1. Die Menge $A\subset V$ ist genau dann linear unabhängig, falls keiner der Vektoren der Menge sich als Linearkombination der restlichen schreiben lässt.

2. Ist die Menge $A$ linear unabhängig, so ist auch jede Teilmenge von $A$ linear unabhängig.

3. Ist $A$ eine Teilmenge von $A'$ und ist $A$ linear abhängig, so ist auch $A'$ linear abhängig.

4. Ist $A$ linear unabhängig und wird die Menge durch Hinzunahme des Vektors $v$ linear abhängig, so lässt sich $v$ als Linearkombination der Vektoren aus $A$ darstellen.

5. Austauschlemma von Steinitz: Sei $A$ eine Menge von Vektoren und $w\in\langle A\rangle$ ein Vektor ungleich dem Nullvektor. Dann gibt es einen Vektor $v\in A$, sodass für $A'=(A\setminus\{v\})\cup\{w\}$ gilt: $\langle A'\rangle=\langle A\rangle$. $A'$ ist außerdem genau dann linear unabhängig (bzw. linear abhängig), falls $A$ linear unabhängig (bzw. linear abhängig) ist.

6. Für eine Menge $A\subset V$ sind folgende Aussagen äquivalent:
(a) $A$ ist linear abhängig.
(b) Einer der Vektoren der Menge lässt sich durch eine Linearkombination der restlichen Vektoren darstellen.
(c) Es gibt ein $v\in A$, sodass für $A'=A\setminus\{v\}$ gilt: $\langle A'\rangle=\langle A\rangle$.

7. In einem endlich-dimensionalen Vektorraum $V$ der Dimension $n$ sind je $n+1$ Vektoren linear abhängig und jede linear unabhängige Menge besteht aus höchstens $n$ Vektoren. Außerdem ist die linear unabhängige Menge $A$ genau dann eine Basis, wenn sie aus genau $n$ Vektoren besteht.

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