Lineare Algebra - Einfürung (00)

Lineare Algebra

Die lineare Algebra beschäftigt sich mit Vektorräumen und linearen Abbildungen zwischen diesen.
Insbesondere wird hierbauf auf Matrizen und Gleichungssysteme eingegangen.

Auffrischung - Was ist ein Vektorraum ?

Ein Vektorraum ist eine algebraische Struktur und wird immer über einem Körper $K$ betrachtet.
Allerdings werden hier am häufigsten reelle Vektorräume, also solche, die über den reellen Zahlen definiert sind, betrachtet.

Sei $\mathfrak{V}=[V, \oplus, \odot]$ ein Vektorraum über dem Körper K. So ist:

  • $\oplus$ eine Operation in V und steht für die Addition, weshalb im Verlauf auch + für $\oplus$ verwendet wird.
  • $\odot$ eine Verknüpfung von Vektoren aus V mit Elementen des zugrundeliegenden Körpers K. Da die Elemente des Körpers auch als Skalare bezeichnet werden, nennt man diese Verknüpfung auch Skalarmultiplikation. (Sie darf jedoch nicht mit dem Skalarprodukt verwechselt werden.) Auch hierfür wird weiterhin nur noch der normale Malpunkt verwendet.

(Anschaulich: Durch die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar wird der Vektor "skaliert", also in seiner Länge verändert, seine Richtung bleibt jedoch die selbe.)

Zudem wird auch oft $V$ selbst als Synonym für die Struktur $\mathfrak V$ verwendet, obwohl dies genau genommen inkorrekt ist.

Auffrischung - Wie sieht so ein Vektor aus?

Zur Vereinfachung betrachten wir nur reelle Vektorräume.
Erst einmal muss man sich vergegenwärtigen, dass jeder Vektorraum eine Basis besitzt. Eine Basis ist ein minimales Erzeugendensystem, also eine Menge von Vektoren, deren lineare Hülle gerade der gesamte Vektorraum ist.
Nun aber mal langsam.
Die lineare Hülle von Vektoren $\vec a_1, \vec a_2, \vec a_3, \dots, \vec a_n$ ist die Menge aller Linearkombinationen von diesen $\vec a_i$.
Hierbei ist eine Linearkombination ein neuer Vektor x, der sich als Summe der skalierten $a_i$ darstellen lässt.

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Die Elemente $\vec v$(von $V$) eines Vektorraums nennt man Vektoren und und werden mit einem Pfeil über der Variablen angegeben.
Allerdings wird dieser Vektorpfeil auch im Verlaufe (besonders der Matrizenrechnung) vernachlässigt und die Vektoren lediglich mit Kleinbuchstaben bezeichnet.

(1)
\begin{align} x = \sum_{i=1}^{n} \alpha_i \cdot \vec a_i \qquad \text{mit } \alpha_i \in \mathbb R \end{align}

Eine lineare Hülle einer Menge von Vektoren ist eine neue Menge von Vektoren, die sich als Linearkombination der alten Vektoren darstellen lassen. Hierbei ist eine Linearkombination nichts weiter als die Summe von skalierten Vektoren.

Ein Vektor, also ein Element eines Vektorraums ist (zumindest für endlich erzeugte Vektorräume) ein Tupel.
Wenn der zugrundeliegende Körper die reellen Zahlen sind, so besteht dieses Tupel aus reellen Zahlen.

(2)
\begin{align} v = \begin{pmatrix} (3 & 4 & 7 & 4) \end{align}
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