Kreuzprodukt

Das Kreuzprodukt (auch Vektorprodukt genannt) ist eine Abbildung, die zwei Vektoren des $\mathbb R^3$ wieder einen Vektor zuordnet.
Für $\vec a,\vec b\in\mathbb R^3$ ist das Kreuprodukt $\vec a\times \vec b$ definiert durch

(1)
\begin{align} \vec{a}\times\vec{b}=\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_2b_3 - a_3b_2 \\ a_3b_1 - a_1b_3 \\ a_1b_2 - a_2b_1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & -a_3 & a_2 \\ a_3 & 0 & -a_1 \\ -a_2 & a_1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3\end{pmatrix}. \end{align}

Es lässt sich auch als Determinante darstellen: Mit $\vec e_1=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}^T$, $\vec e_2=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0\end{pmatrix}^T$ und $\vec e_3=\begin{pmatrix}0 & 0 & 1\end{pmatrix}^T$ gilt:

(2)
\begin{align} \vec a\times\vec b=\det\begin{pmatrix} \vec e_1 & \vec e_2 & \vec e_3 \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{pmatrix}=\begin{vmatrix} \vec e_1 & \vec e_2 & \vec e_3 \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}. \end{align}

Das Kreuzprodukt $\vec a\times\vec b$ ist orthogonal zu den beiden Vektoren $\vec a$ und $\vec b$, es gilt also:

(3)
\begin{align} \begin{align} \vec a\cdot (\vec a\times\vec b)=0 \cr \vec b\cdot (\vec a\times\vec b)=0 \end{align}. \end{align}

Der Betrag des Kreuzprodukts gibt den Flächeninhalt des durch $\vec a$ und $\vec b$ aufgespannten Parallelogramms an. Es gilt also, wenn $\varphi\in [0,\pi]$ der von $\vec a$ und $\vec b$ eingeschlossene Winkel ist:

(4)
\begin{align} |\vec a\times\vec b|=|\vec a||\vec b|\sin\varphi. \end{align}

Desweiteren gilt:

(5)
\begin{align} |\vec a\times\vec b|^2=|\vec a|^2|\vec b|^2-\left(\vec a\cdot\vec b\right)^2. \end{align}

Rechenregeln

Für alle $\vec a,\vec b,\vec c\in\mathbb R^3$ und für alle $\lambda\in\mathbb R$ gilt:

(6)
\begin{align} \vec a\times (\vec b+\vec c) & =\vec a\times\vec b+\vec a\times\vec c \cr (\vec a+\vec b)\times\vec c & =\vec a\times\vec c+\vec b\times\vec c \cr (\lambda\vec a)\times\vec b & =\vec a\times (\lambda\vec b)=\lambda (\vec a\times\vec b) \cr \vec a\times\vec b & =-(\vec b\times\vec a) \cr \vec a\times\vec 0 & =\vec 0 \cr \vec a\times\vec a & =\vec 0. \end{align}

Wegen der ersten drei Rechenregeln ist das Kreuzprodukt eine bilineare Abbildung. Das Kreuzprodukt ist im Allgemeinen nicht assoziativ. Es gilt aber folgende (Jacobi-)Identität:

(7)
\begin{align} \vec a\times (\vec b\times\vec c)+\vec b\times (\vec c\times\vec a)+\vec c\times (\vec a\times\vec b)=\vec 0. \end{align}

Von Wichtigkeit, vor allem in der Physik, ist noch der Graßmannsche Entwicklungssatz:

(8)
\begin{align} \vec a\times(\vec b\times\vec c)=(\vec a\cdot \vec c)\cdot \vec b-(\vec a\cdot \vec b)\cdot\vec c. \end{align}

Man beachte, dass auf der rechten Seite die Multiplikationszeichen innerhalb der beiden Klammern für das Skalarprodukt der beiden Vektoren stehen, die Multiplikationszeichen außerhalb der beiden Klammern jedoch für die skalare Multiplikation eines Skalars mit einem Vektor stehen.

Verallgemeinerung

Das Kreuzprodukt lässt sich auf den $\mathbb R^n$ verallgemeinern. Sei $\vec e_i$ der $i$-te Einheitsvektor. Für $n-1$ Vektoren $\vec a_1,\ldots,\vec a_{n-1}\in\mathbb R^n$, wobei

(9)
\begin{align} \vec a_k=\begin{pmatrix}a_{1k} \\ a_{2k} \\ \vdots \\ a_{nk}\end{pmatrix} \end{align}

sei, ist das Kreuzprodukt definiert durch

(10)
\begin{align} \vec a_1\times\cdots\times\vec a_{n-1}=\det\begin{pmatrix} \vec e_1 & \vec e_2 & \cdots & \vec e_n \\ a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1(n-1)} & a_{2(n-1)} & \cdots & a_{n(n-1)}\end{pmatrix}=\begin{vmatrix} \vec e_1 & \vec e_2 & \cdots & \vec e_n \\ a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1(n-1)} & a_{2(n-1)} & \cdots & a_{n(n-1)}\end{vmatrix}. \end{align}

Auch dieses Kreuprodukt steht orthogonal auf allen Vektoren $\vec a_k$.

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-Share Alike 2.5 License.