Hausaufgaben zu Mittwoch, dem 29. November 2006

Aufgabe 1

(1)
\begin{align} f \begin{pmatrix} 1 \\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1\end{pmatrix} \qquad f \begin{pmatrix} -1 \\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0\end{pmatrix} \end{align}
  • Ist die Abbildung f durch diese beiden Gleichungen eindeutig definiert?
  • Stellen Sie die zu f gehörige Matrix auf.
  • Ist f ein Isomorphismus?* Geben Sie in diesem Fall die Matrix für $f^{-1}$ an, sodass $\forall x\in \mathbb R^2 : (f \circ f^{-1})(x)=(f^{-1} \circ f)(x)=x$.

Aufgabe 2

(2)
\begin{align} A = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix} \qquad B = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & 1 & 4 \end{pmatrix} \end{align}
  • Bestimmen Sie den Kern der zu den Matrizen A bzw. B gehörenden Abbildungen.
  • Ermitteln Sie den Rang der beiden Matrizen. (Anzahl der unabhängigen Spalten- / Zeilenvektoren)

Aufgabe 3

  • Prüfen Sie, ob folgende Abbildung linear sind:
(3)
\begin{align} & \mathbb R^2 \to \mathbb R^2\\ & (x,y) \mapsto (3x+2y,x) \\\\& \mathbb R \to \mathbb R\\ & x \mapsto ax+b \\\\& \mathbb Q^2 \to \mathbb R\\ & (x,y) \mapsto x+\sqrt 2 \cdot y \\\\& \text{Menge aller reellen Funktion} \to \mathbb R\\ & f \mapsto f(1) \end{align}

(Zusatz: Ermitteln Sie, ob zum jeweiligen Ausgangsvektorraum ein Isomorphismus zum $\mathbb R^n$ existiert. Geben Sie dementsprechend eine Abbildungsmatrix an, die sich auf die Standardbasis des $\mathbb R^n$ bezieht.)

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