Hausaufgaben zu Mittwoch, dem 06. Dezember 2006

Aufgabe 1

Einiges zum Kreuzprodukt zweier Vektoren im $\mathbb R^3$:
Sei $f_b$ eine Abbildung mit $f_b:\mathbb R^3\to\mathbb R^3$ und $f_b(v) = b\times v$.
(Diese Abbildung simuliert das Kreuzprodukt eines festen Vektors $b$ mit einem beliebigen Vektor $v$.

  • Ist die Abbildung $f_b$ linear?
  • Geben sie eine zugehörigen Matrix $A_b$ an, sodass $A_b\cdot v=f_b(v)$.
  • Warum wird diese Operation wohl als antisymmetrisch bezeichnet?
  • Stellen Sie eine Vermutung für die Definition von antisymmetrischen Matrizen auf.
  • Ermitteln (und beschreiben) Sie den Kern der Abbildung.

Aufgabe 2

  • Lesen sie den Artikel zu Bilinearformen.
  • Beweisen Sie die Äquivalenz der beiden Definitionen für die Antisymmetrie:
(1)
\begin{align} \forall v,w \in V : \langle v,w\rangle = -\langle w,v\rangle \qquad \Leftrightarrow \qquad \forall v \in V : \langle v,v\rangle = 0 \end{align}

(Tipp: verwenden Sie hierzu eine Eigenschaft der Linearität, um die Bilinearform zu zerlegen)

Aufgabe 3

In Aufgabe 3 und 4 seien die angegebenen Matrizen durchgehend quadratische $n\times n$-Matrizen.

Wenn $A^T$ die transponierte Matrix zu $A$ (also die an der Hauptdiagonalen gespiegelte)
und $B^T$ die transponierte Matrix zu $B$ ist, so gilt allgemein: $\left(A\cdot B\right)^T=\left(B^T\cdot A^T\right)$.

  • Zeigen Sie in diesem Zusammenhang:
(2)
\begin{align} \forall x,y \in \mathbb R^n : \quad x^T A y = y^T A x \qquad \Leftrightarrow \qquad A^T = A. \end{align}

Damit wäre der Zusammenhang zwischen einer symmetrischen Matrix und einer durch sie definierten symmetrischen Bilinearform klar.

Aufgabe 4

Nun ein kleines Quiz: (auch hier hilft wieder $\left(A\cdot B\right)^T=\left(B^T\cdot A^T\right)$)

  • Angenommen, die Matrix $A$ ist invertierbar. Treffen Sie eine begründete Aussage für die Invertierbarkeit von $A^T$.
  • Ganz offensichtlich ist $E=E^{-1}$ und auch $E=E^T$ und somit $E^T=E^{-1}$. Gibt es noch weitere Matrizen $A$, sodass $A\cdot A^T=E$?
  • In dem Fall, dass $A^T=A^{-1}$, wie verhält sich das Skalarprodukt zweier Vektoren $\langle x,y\rangle$ in Bezug auf das Skalarprodukt $\langle Ax,Ay\rangle$ ihrer Bilder?

Anmerkung:
Die Notation $\langle x,y\rangle$ kann zum einem eine Bilinearform bedeuten, oder aber für das Skalarprodukt im Speziellen stehen. Der Verwendungszweck sollte jedoch aus dem Kontext heraus erkennbar sein.
Zusätzlich ist noch zu ergänzen, dass selbst die Lineare Hülle von Vektoren $\operatorname{span}\{a_1, a_2, ... a_n\}$ zuweilen als $\langle a_1, a_2, ... a_n\rangle$ geschrieben wird. Allerdings ist mit obiger Schreibweise $\langle x,y\rangle$ nicht die Menge aller Linearkombinationen von $x$ und $y$ gemeint.
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