Dimension eines Vektorraums

Die Dimension eines $K$-Vektorraums gibt die Anzahl der Elemente einer Basis von $V$ an. Da jeder Vektorraum mindestens eine Basis besitzt und alle Basen ein und desselben Vektorraums gleichmächtig sind, kann man sie für jeden Vektorraum definieren:

Es sei $V$ ein $K$-Vektorraum.
Besitzt $V$ eine endliche Basis mit $n$ Elementen, so bezeichnet man $n$ als die Dimension von $V$ und schreibt:

(1)
\begin{align} \dim_KV=n. \end{align}

Gibt es keine endliche Basis in $V$, so sei die Dimension $\infty$:

(2)
\begin{align} \dim_KV=\infty. \end{align}

Anstelle von $\dim_KV$ schreibt man oft auch einfach $\dim V$.
Damit gilt: Jede Basis von $V$ besitzt $\dim V$ Elemente.

Ist $U$ ein Unterraum eines endlich erzeugten Vektorraums $V$ und $A\subset V$ eine linear unabhängige Menge, dann gilt:

(3)
\begin{align} &(1)\quad\dim U\leq\dim V\cr &(2)\quad\dim U=\dim V\quad\Leftrightarrow\quad U=V\cr &(3)\quad |A|\leq \dim V, \end{align}

wobei $|A|$ für die Anzahl der Elemente von $A$ steht.

Für eine lineare Abbildung $f:V\to W$ eines $K$-Vektorraums $V$ in den $K$-Vektorraum $W$ gilt der sogenannte Dimensionssatz:

(4)
\begin{align} \dim_KV=\dim_K(\operatorname{Kern}f)+\dim_K(\operatorname{Bild}f). \end{align}

Sind $U_1,U_2$ zwei Unterräume von $V$, dann gilt die sogenannte Dimensionsformel:

(5)
\begin{align} \dim(U_1+U_2)+\dim(U_1\cap U_2)=\dim U_1+\dim U_2, \end{align}

wobei die Summe der beiden Unterräume durch

(6)
\begin{align} U_1+U_2=\{u_1+u_2\ |\ u_1\in U_1,u_2\in U_2\} \end{align}

definiert wird und selbst wieder ein Unterraum ist.

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-Share Alike 2.5 License.