Die Dimension eines $K$-Vektorraums gibt die Anzahl der Elemente einer Basis von $V$ an. Da jeder Vektorraum mindestens eine Basis besitzt und alle Basen ein und desselben Vektorraums gleichmächtig sind, kann man sie für jeden Vektorraum definieren:
Es sei $V$ ein $K$-Vektorraum.
Besitzt $V$ eine endliche Basis mit $n$ Elementen, so bezeichnet man $n$ als die Dimension von $V$ und schreibt:
Gibt es keine endliche Basis in $V$, so sei die Dimension $\infty$:
(2)Anstelle von $\dim_KV$ schreibt man oft auch einfach $\dim V$.
Damit gilt: Jede Basis von $V$ besitzt $\dim V$ Elemente.
Ist $U$ ein Unterraum eines endlich erzeugten Vektorraums $V$ und $A\subset V$ eine linear unabhängige Menge, dann gilt:
(3)wobei $|A|$ für die Anzahl der Elemente von $A$ steht.
Für eine lineare Abbildung $f:V\to W$ eines $K$-Vektorraums $V$ in den $K$-Vektorraum $W$ gilt der sogenannte Dimensionssatz:
(4)Sind $U_1,U_2$ zwei Unterräume von $V$, dann gilt die sogenannte Dimensionsformel:
(5)wobei die Summe der beiden Unterräume durch
(6)definiert wird und selbst wieder ein Unterraum ist.