Bilinearform

In der linearen Algebra bezeichnet die Bilinearform $B(v,w)$ eine Funktion, die zwei Vektoren $v \in V$ und $w \in W$ einen Skalarwert zuordnet.
Die beiden Vektorräume $V$ und $W$ müssen nicht übereinstimmen,
allerdings muss ihnen der selbe Skalarkörper $K$ zugrundeliegen.
(Im reellen Fall ist $K=\mathbb R$.)

Zudem wird von dieser Funktion gefordert, dass sie linear in ihren beiden Argumenten ist.
Anders ausgedrückt: Sowohl $B_v(w)$ als auch $B_w(v)$ muss eine lineare Abbildung sein. Formelmäßig bedeutet dies:
Für zwei $K$-Vektorräume $V,W$ heißt $B:V\times W\to K$ eine Bilinearform, wenn gilt:

(1)
\begin{align} &\forall v_1,v_2\in V \quad \forall w\in W& &: &B(v_1+v_2,w) &= B(v_1,w)+B(v_2,w) \cr &\forall v\in V\quad \forall w_1,w_2\in W& &: &B(v,w_1+w_2) &=B(v,w_1)+B(v,w_2) \cr &\forall \lambda\in K\quad \forall v\in V\quad \forall w\in W& &: &B(\lambda v,w) &=B(v,\lambda w)=\lambda B(v,w). \end{align}

Die Bilinearform $B(v,w)$ wird auch oft als $\langle v,w\rangle$ geschrieben.

Das bekannteste Beispiel einer Bilinearform ist das Skalarprodukt zweier Vektoren.

Symmetrieeigenschaften

Die Untersuchung auf Symmetrie macht nur im Fall $V = W$ Sinn, sodass beide Argumente aus demselben Vektorraum stammen müssen.

  • $B$ heißt symmetrisch, wenn gilt:
(2)
\begin{align} \forall v,w \in V : \langle v,w\rangle = \langle w,v\rangle. \end{align}
  • $B$ heißt antisymmetrisch (oder auch schiefsymmetrisch, bzw. alternierend), wenn gilt:
(3)
\begin{align} \forall v,w \in V : \langle v,w\rangle = -\langle w,v\rangle. \end{align}

Dies (3) ist äquivalent zu:

(4)
\begin{align} \forall v \in V : \langle v,v\rangle = 0. \end{align}
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