In der linearen Algebra bezeichnet die Bilinearform $B(v,w)$ eine Funktion, die zwei Vektoren $v \in V$ und $w \in W$ einen Skalarwert zuordnet.
Die beiden Vektorräume $V$ und $W$ müssen nicht übereinstimmen,
allerdings muss ihnen der selbe Skalarkörper $K$ zugrundeliegen.
(Im reellen Fall ist $K=\mathbb R$.)
Zudem wird von dieser Funktion gefordert, dass sie linear in ihren beiden Argumenten ist.
Anders ausgedrückt: Sowohl $B_v(w)$ als auch $B_w(v)$ muss eine lineare Abbildung sein. Formelmäßig bedeutet dies:
Für zwei $K$-Vektorräume $V,W$ heißt $B:V\times W\to K$ eine Bilinearform, wenn gilt:
Die Bilinearform $B(v,w)$ wird auch oft als $\langle v,w\rangle$ geschrieben.
Das bekannteste Beispiel einer Bilinearform ist das Skalarprodukt zweier Vektoren.
Symmetrieeigenschaften
Die Untersuchung auf Symmetrie macht nur im Fall $V = W$ Sinn, sodass beide Argumente aus demselben Vektorraum stammen müssen.
- $B$ heißt symmetrisch, wenn gilt:
- $B$ heißt antisymmetrisch (oder auch schiefsymmetrisch, bzw. alternierend), wenn gilt:
Dies (3) ist äquivalent zu:
(4)