Basis eines Vektorraums

Eine Basis eines Vektorraums ist eine Menge von Vektoren, die den gesamten Vektorraum erzeugt, wobei sich jeder Vektor des Vektorraums durch eine eindeutige Linearkombination der Elemente der Basis darstellen lässt.

Definition

Sei $V$ ein $K$-Vektorraum. Ein System $\mathcal B=(v_i)_{i\in I}$ von Vektoren (mit der Indexmenge $I$) heißt Basis von $V$, falls sich jeder Vektor $v\in V$ als eindeutige Linearkombination der Vektoren des Systems darstellen lässt. D.h.: Aus

(1)
\begin{align} v=\sum_{i\in I}k_iv_i=\sum_{i\in I}l_iv_i \end{align}

folgt stets $k_i=l_i$ für alle $i\in I$.
Eine Menge $B\subset V$ wird ebenfalls als Basis bezeichnet, falls das System $(v)_{v\in B}$ eine Basis ist.
Eine Basis heißt endlich (unendlich), wenn sie aus endlich (unendlich) vielen Vektoren besteht.

Äquivalente Beschreibungen

Folgende Aussagen sind für beliebige (d.h. für endlich- und unendlich-dimensionale) Vektorräume $V$ äquivalent:
(a) $\mathcal B=(v_i)_{i\in I}$ ist eine Basis von $V$.
(b) $\mathcal B=(v_i)_{i\in I}$ ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem.
(c) $\mathcal B=(v_i)_{i\in I}$ ist eine maximal linear unabhängige Menge, d.h.: $\mathcal B$ ist linear unabhängig und für jedes $w\in V$ ist das System $\mathcal B'$, das aus $\mathcal B$ durch Hinzunahme des Vektors $w$ entsteht, linear abhängig.
(d) $\mathcal B=(v_i)_{i\in I}$ ist ein minimales Erzeugendensystem, d.h.: $\mathcal B$ ist ein Erzeugendensystem von $V$ und für jedes $i\in I$ ist das System $\mathcal B'$, das aus $\mathcal B$ durch Wegnahme von $v_i$ entsteht, kein Erzeugendensystem von $V$.

Jede dieser Aussagen kann also auch als Definition des Begriffs der Basis dienen.

Wichtige Sätze

In den folgenden Sätzen lässt sich die Menge $A$ durch ein System $\mathcal A$ von Vektoren ersetzen, wobei der Kontext sinnvoll zu verändern ist.

1. Jeder Vektorraum besitzt mindestens eine Basis.

2. Je zwei Basen desselben Vektorraums haben gleichviele Elemente. Im Fall unendlicher Basen bedeutet dies, dass je zwei Basen des zugehörigen unendlich-dimensionalen Vektorraums gleichmächtig sind.

3. Aufgrund des letzten Satzes kann man die Dimension eines Vektorraums definieren. Damit gilt: Jede Basis des $K$-Vektorraums $V$ besitzt $\dim_KV$ Elemente.

4. Jedes Element eines Vektorraums besitzt bzgl. einer Basis genau eine (eindeutig bestimmte) Darstellung als Linearkombination der Elemente der Basis.

5. Ist $\dim_KV=n$, so bildet ein System von $n$ Vektoren genau dann eine Basis, falls es linear unabhängig ist.

6. Basisergänzungssatz: Ist $A$ eine linear unabhängige Menge und $B$ eine Basis (bzw. allgemeiner ein Erzeugendensystem) im $K$-Vektorraum $V$, so gibt es eine Teilmenge $B'\subset B$, sodass $A\cup B'$ eine Basis von $V$ bildet.

7. Basisauswahlsatz: Ist $A$ ein Erzeugendensystem des Vektorraums $V$, dann gibt es eine Teilmenge $B\subset A$, sodass $B$ eine Basis von $V$ ist.

8. Austauschlemma von Steinitz (für Basen):
1) Ist $B$ eine Basis von $V$ und $w\in V\setminus \{0\}$ ein Vektor ungleich dem Nullvektor, so existiert ein $v\in B$, sodass die Menge $B'=(B\setminus \{v\})\cup \{w\}$ wieder eine Basis von $V$ ist.
2) Sind $B_1$ und $B_2$ zwei Basen, so gibt es zu jedem $w\in B_1$ einen Vektor $v\in B_2$, sodass $B'_1=(B_1\setminus\{w\})\cup\{v\}$ wieder eine Basis ist. ($B'_2=(B_2\setminus\{v\})\cup\{w\}$ ist dann ebenfalls eine Basis.)

9. Basisaustauschsatz (auch "Austauschsatz von Steinitz"): Ist $B$ eine Basis von $V$ und $(w_i)_{i\in I}$ ein linear unabhängiges System von Vektoren des Vektorraums, so existiert ein System $(v_i)_{i\in I}$ mit $v_i\in B\quad\forall i\in I$, sodass die Menge $B'=(B\setminus \{v_i\ |\ i\in I\})\cup \{w_i\ |\ i\in I\}$ wieder eine Basis von $V$ ist.

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